Слово "распространившись":
Слово является деепричастием - самостоятельная часть речи, обозначающая причастное действие при главном действии. Эта часть речи собирает в себе признаки глагола и наречия.
Конечно, слухи о движении войск должны были проникнуть за границу, а затем, распространившись по Европе, дойти и до Парижа.
распространиться
Слово "распространившись" имеет - совершенный вид
распространИвшись
Ударение падает на слог с буквой И. На двенадцатую букву в слове.
"РАСПРОСТРАНИВШИСЬ" - это возвратное деепричастие
Слово "распространившись" является непереходное