Для определения рода слова “брошка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “брошка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “брошка” можно определить род.
Слово “брошка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “брошка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “брошка” находится по ссылке