Для определения рода слова “куток” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “куток” . Тогда в зависимости от окончания в слове “куток” можно определить род.
Слово “куток” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “куток” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “куток” находится по ссылке