Для определения рода слова “экзарх” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “экзарх” . Тогда в зависимости от окончания в слове “экзарх” можно определить род.
Слово “экзарх” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “экзарх” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “экзарх” находится по ссылке