Для определения рода слова “беседка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “беседка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “беседка” можно определить род.
Слово “беседка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “беседка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “беседка” находится по ссылке