Для определения рода слова “второгодничество” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “второгодничество” . Тогда в зависимости от окончания в слове “второгодничество” можно определить род.
Слово “второгодничество” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “второгодничество” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “второгодничество” находится по ссылке