Для определения рода слова “дорогой” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “дорога” . Тогда в зависимости от окончания в слове “дорога” можно определить род.
Слово “дорогой” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “дорога” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “дорогой” находится по ссылке