Для определения рода слова “досуг” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “досуг” . Тогда в зависимости от окончания в слове “досуг” можно определить род.
Слово “досуг” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “досуг” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “досуг” находится по ссылке