Для определения рода слова “кавычка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “кавычка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “кавычка” можно определить род.
Слово “кавычка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “кавычка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “кавычка” находится по ссылке