Для определения рода слова “каретка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “каретка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “каретка” можно определить род.
Слово “каретка” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “каретка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “каретка” находится по ссылке