Для определения рода слова “каюк” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “каюк” . Тогда в зависимости от окончания в слове “каюк” можно определить род.
Слово “каюк” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “каюк” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “каюк” находится по ссылке