Для определения рода слова “квартира” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “квартира” . Тогда в зависимости от окончания в слове “квартира” можно определить род.
Слово “квартира” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “квартира” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “квартира” находится по ссылке