Для определения рода слова “лежбище” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “лежбище” . Тогда в зависимости от окончания в слове “лежбище” можно определить род.
Слово “лежбище” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “лежбище” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “лежбище” находится по ссылке