Для определения рода слова “нагайка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “нагайка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “нагайка” можно определить род.
Слово “нагайка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “нагайка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “нагайка” находится по ссылке