Для определения рода слова “начётничество” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “начётничество” . Тогда в зависимости от окончания в слове “начётничество” можно определить род.
Слово “начётничество” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “начётничество” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “начётничество” находится по ссылке