Для определения рода слова “паук” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “паук” . Тогда в зависимости от окончания в слове “паук” можно определить род.
Слово “паук” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “паук” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “паук” находится по ссылке