Для определения рода слова “побежка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “побежка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “побежка” можно определить род.
Слово “побежка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “побежка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “побежка” находится по ссылке