Для определения рода слова “помешательство” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “помешательство” . Тогда в зависимости от окончания в слове “помешательство” можно определить род.
Слово “помешательство” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “помешательство” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “помешательство” находится по ссылке