Для определения рода слова “президентство” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “президентство” . Тогда в зависимости от окончания в слове “президентство” можно определить род.
Слово “президентство” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “президентство” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “президентство” находится по ссылке