Для определения рода слова “старшинство” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “старшинство” . Тогда в зависимости от окончания в слове “старшинство” можно определить род.
Слово “старшинство” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “старшинство” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “старшинство” находится по ссылке