Для определения рода слова “татуировка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “татуировка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “татуировка” можно определить род.
Слово “татуировка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “татуировка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “татуировка” находится по ссылке