Для определения рода слова “товарищество” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “товарищество” . Тогда в зависимости от окончания в слове “товарищество” можно определить род.
Слово “товарищество” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “товарищество” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “товарищество” находится по ссылке