Для определения рода слова “балалаечка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “балалаечка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “балалаечка” можно определить род.
Слово “балалаечка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “балалаечка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “балалаечка” находится по ссылке