Для определения рода слова “балалайка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “балалайка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “балалайка” можно определить род.
Слово “балалайка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “балалайка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “балалайка” находится по ссылке