Для определения рода слова “бедняжка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “бедняжка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “бедняжка” можно определить род.
Слово “бедняжка” употребляется в общем роде (Потому как в начальной форме слова “бедняжка” окончание [а] или [я]).Полный морфологический разбор Cуществительного “бедняжка” находится по ссылке