Для определения рода слова “библиотека” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “библиотека” . Тогда в зависимости от окончания в слове “библиотека” можно определить род.
Слово “библиотека” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “библиотека” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “библиотека” находится по ссылке