Для определения рода слова “бирка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “бирка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “бирка” можно определить род.
Слово “бирка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “бирка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “бирка” находится по ссылке