Для определения рода слова “богадельня” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “богадельня” . Тогда в зависимости от окончания в слове “богадельня” можно определить род.
Слово “богадельня” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “богадельня” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “богадельня” находится по ссылке