Для определения рода слова “богатый” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “богатый” . Тогда в зависимости от окончания в слове “богатый” можно определить род.
Слово “богатый” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “богатый” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “богатый” находится по ссылке