Для определения рода слова “больничка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “больничка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “больничка” можно определить род.
Слово “больничка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “больничка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “больничка” находится по ссылке