Для определения рода слова “водительство” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “водительство” . Тогда в зависимости от окончания в слове “водительство” можно определить род.
Слово “водительство” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “водительство” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “водительство” находится по ссылке