Для определения рода слова “гарем” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “гарем” . Тогда в зависимости от окончания в слове “гарем” можно определить род.
Слово “гарем” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “гарем” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “гарем” находится по ссылке