Для определения рода слова “герцогство” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “герцогство” . Тогда в зависимости от окончания в слове “герцогство” можно определить род.
Слово “герцогство” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “герцогство” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “герцогство” находится по ссылке