Для определения рода слова “добрососедство” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “добрососедство” . Тогда в зависимости от окончания в слове “добрососедство” можно определить род.
Слово “добрососедство” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “добрососедство” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “добрососедство” находится по ссылке