Для определения рода слова “дороженька” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “дороженька” . Тогда в зависимости от окончания в слове “дороженька” можно определить род.
Слово “дороженька” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “дороженька” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “дороженька” находится по ссылке