Для определения рода слова “зверюшка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “зверюшка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “зверюшка” можно определить род.
Слово “зверюшка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “зверюшка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “зверюшка” находится по ссылке