Для определения рода слова “именинник” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “именинник” . Тогда в зависимости от окончания в слове “именинник” можно определить род.
Слово “именинник” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “именинник” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “именинник” находится по ссылке