Для определения рода слова “институтка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “институтка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “институтка” можно определить род.
Слово “институтка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “институтка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “институтка” находится по ссылке