Для определения рода слова “карцер” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “карцер” . Тогда в зависимости от окончания в слове “карцер” можно определить род.
Слово “карцер” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “карцер” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “карцер” находится по ссылке