Для определения рода слова “квадрига” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “квадрига” . Тогда в зависимости от окончания в слове “квадрига” можно определить род.
Слово “квадрига” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “квадрига” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “квадрига” находится по ссылке