Для определения рода слова “квартет” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “квартет” . Тогда в зависимости от окончания в слове “квартет” можно определить род.
Слово “квартет” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “квартет” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “квартет” находится по ссылке