Для определения рода слова “кутузка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “кутузка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “кутузка” можно определить род.
Слово “кутузка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “кутузка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “кутузка” находится по ссылке