Для определения рода слова “местничество” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “местничество” . Тогда в зависимости от окончания в слове “местничество” можно определить род.
Слово “местничество” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “местничество” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “местничество” находится по ссылке