Для определения рода слова “монашество” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “монашество” . Тогда в зависимости от окончания в слове “монашество” можно определить род.
Слово “монашество” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “монашество” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “монашество” находится по ссылке