Для определения рода слова “паутинка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “паутинка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “паутинка” можно определить род.
Слово “паутинка” употребляется в женском роде (Потому как в начальной форме слова “паутинка” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “паутинка” находится по ссылке