Для определения рода слова “песенник” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “песенник” . Тогда в зависимости от окончания в слове “песенник” можно определить род.
Слово “песенник” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “песенник” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “песенник” находится по ссылке