Для определения рода слова “побегушки” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “побегушки” . Тогда в зависимости от окончания в слове “побегушки” можно определить род.
Слово “побегушки”Полный морфологический разбор Cуществительного “побегушки” находится по ссылке