Для определения рода слова “побирушка” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “побирушка” . Тогда в зависимости от окончания в слове “побирушка” можно определить род.
Слово “побирушка” употребляется в общем роде (Потому как в начальной форме слова “побирушка” окончание [а] или [я]).Полный морфологический разбор Cуществительного “побирушка” находится по ссылке