Для определения рода слова “попугайчик” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “попугайчик” . Тогда в зависимости от окончания в слове “попугайчик” можно определить род.
Слово “попугайчик” употребляется в мужском роде (Потому как в начальной форме слова “попугайчик” окончание [а], [я] или [ ] нулевое).Полный морфологический разбор Cуществительного “попугайчик” находится по ссылке