Для определения рода слова “посмешище” его необходимо поставить в именительный падеж единственного числа, получается форма: “посмешище” . Тогда в зависимости от окончания в слове “посмешище” можно определить род.
Слово “посмешище” употребляется в среднем роде (Потому как в начальной форме слова “посмешище” окончание [е], [о]).Полный морфологический разбор Cуществительного “посмешище” находится по ссылке